线性代数基础 – 向量

1. 引言

在计算机科学中，线性代数是一个非常重要的数学分支，而向量则是线性代数中最基本的概念之一。无论是图形处理、机器学习、数据分析，还是物理引擎的开发，向量都扮演着至关重要的角色。本章将带领大家从零开始，逐步理解向量的基本概念、向量空间、向量的内积与外积，以及向量在计算机科学中的实际应用。

2. 核心概念讲解

2.1 向量的基本概念

向量是既有大小又有方向的量。在数学中，向量通常表示为一个有序的数字列表，例如在二维空间中，向量可以表示为 ( mathbf{v} = [v1, v2] )，其中 ( v1 ) 和 ( v2 ) 分别是向量在x轴和y轴上的分量。

向量的表示：

• 几何表示：向量可以用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
• 代数表示：向量可以用坐标表示，例如在三维空间中，向量 ( mathbf{v} = [v1, v2, v3] )。

• 向量加法：两个向量相加，对应分量相加。例如，( mathbf{v} = [v1, v2] ) 和 ( mathbf{w} = [w1, w2] ) 相加得到 ( mathbf{v} + mathbf{w} = [v1 + w1, v2 + w2] )。
• 向量数乘：向量与标量相乘，每个分量都乘以该标量。例如，( c mathbf{v} = [c v1, c v2] )。

内积（点积）：
内积是两个向量之间的一种运算，结果是一个标量。对于两个向量 ( mathbf{v} = [v1, v2, dots, vn] ) 和 ( mathbf{w} = [w1, w2, dots, wn] )，它们的内积定义为：
[
mathbf{v} cdot mathbf{w} = v1 w1 + v2 w2 + dots + vn wn
] 内积的几何意义是：两个向量的内积等于它们的长度与它们之间夹角的余弦的乘积。

外积（叉积）：
外积是三维空间中两个向量之间的一种运算，结果是一个向量。对于两个向量 ( mathbf{v} = [v1, v2, v3] ) 和 ( mathbf{w} = [w1, w2, w3] )，它们的外积定义为：
[
mathbf{v} times mathbf{w} = [v2 w3 – v3 w2, v3 w1 – v1 w3, v1 w2 – v2 w_1] ] 外积的几何意义是：外积的结果向量垂直于原来的两个向量，并且其长度等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。

2.4 向量在计算机科学中的应用

图形处理：
在计算机图形学中，向量用于表示物体的位置、方向和速度。例如，三维模型中的顶点位置可以用向量表示，光照计算中也会用到向量的内积和外积。

机器学习：
在机器学习中，向量用于表示数据点。例如，在分类问题中，每个数据点可以表示为一个特征向量，算法通过计算向量之间的距离来进行分类。

物理引擎：
在游戏开发中，物理引擎使用向量来表示物体的速度、加速度和力。通过向量的运算，可以模拟物体的运动和碰撞。

3. 实例和练习

3.1 实例

实例1：向量加法
给定两个二维向量 ( mathbf{v} = [3, 4] ) 和 ( mathbf{w} = [1, 2] )，计算它们的和。
[
mathbf{v} + mathbf{w} = [3 + 1, 4 + 2] = [4, 6] ]

实例2：内积计算
给定两个三维向量 ( mathbf{v} = [1, 2, 3] ) 和 ( mathbf{w} = [4, 5, 6] )，计算它们的内积。
[
mathbf{v} cdot mathbf{w} = 1 times 4 + 2 times 5 + 3 times 6 = 4 + 10 + 18 = 32
]

实例3：外积计算
给定两个三维向量 ( mathbf{v} = [1, 0, 0] ) 和 ( mathbf{w} = [0, 1, 0] )，计算它们的外积。
[
mathbf{v} times mathbf{w} = [0 times 0 – 0 times 1, 0 times 0 – 1 times 0, 1 times 1 – 0 times 0] = [0, 0, 1] ]

3.2 练习

练习1：向量加法
给定两个三维向量 ( mathbf{v} = [2, 3, 4] ) 和 ( mathbf{w} = [1, 2, 3] )，计算它们的和。

练习2：内积计算
给定两个二维向量 ( mathbf{v} = [5, 6] ) 和 ( mathbf{w} = [7, 8] )，计算它们的内积。

练习3：外积计算
给定两个三维向量 ( mathbf{v} = [0, 1, 0] ) 和 ( mathbf{w} = [0, 0, 1] )，计算它们的外积。

4. 总结

本章我们学习了向量的基本概念、向量空间、向量的内积与外积，以及向量在计算机科学中的应用。向量是线性代数的基础，也是计算机科学中不可或缺的工具。通过本章的学习，你应该能够理解向量的表示和运算，并能够在实际问题中应用向量进行计算和分析。希望你能通过练习进一步巩固所学知识，为后续的学习打下坚实的基础。