随机变量与分布
1. 引言
在概率论与统计学中，随机变量是一个核心概念。它帮助我们量化不确定性，并为各种现象建立数学模型。本章将深入探讨随机变量的基本概念、常见的离散和连续概率分布，以及随机变量的函数与变换。通过学习本章内容，你将能够理解随机变量在现实世界中的应用，并掌握如何通过概率分布来描述和分析随机现象。
2. 核心概念讲解
2.1 随机变量的基本概念
随机变量（Random Variable）是一个函数，它将样本空间中的每个样本点映射到一个实数。随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
- 离散随机变量：取值为有限个或可数无限个的随机变量。例如，掷骰子的结果。
- 连续随机变量：取值为不可数无限个的随机变量。例如，某地区的气温。
2.2 常见的离散概率分布
2.2.1 伯努利分布（Bernoulli Distribution）
伯努利分布是最简单的离散分布，描述只有两种可能结果的随机试验。例如，抛硬币的结果（正面或反面）。
- 概率质量函数（PMF）：
[
P(X = k) = begin{cases}
p & text{如果 } k = 1 \
1 – p & text{如果 } k = 0
end{cases}
]
- 期望值：(E[X] = p)
- 方差：(Var(X) = p(1 – p))
2.2.2 二项分布（Binomial Distribution）
二项分布描述在n次独立伯努利试验中成功的次数。例如，抛n次硬币得到正面的次数。
- 概率质量函数（PMF）：
[
P(X = k) = binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k}
]
- 期望值：(E[X] = np)
- 方差：(Var(X) = np(1 – p))
2.3 常见的连续概率分布
2.3.1 均匀分布（Uniform Distribution）
均匀分布描述在区间[a, b]内所有值具有相同概率密度的随机变量。
- 概率密度函数（PDF）：
[
f(x) = begin{cases}
frac{1}{b – a} & text{如果 } a leq x leq b \
0 & text{否则}
end{cases}
]
- 期望值：(E[X] = frac{a + b}{2})
- 方差：(Var(X) = frac{(b – a)^2}{12})
2.3.2 正态分布（Normal Distribution）
正态分布是最常见的连续分布，广泛应用于自然和社会科学中。
- 概率密度函数（PDF）：
[
f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x – mu)^2}{2sigma^2}}
]
- 期望值：(E[X] = mu)
- 方差：(Var(X) = sigma^2)
2.4 随机变量的函数与变换
随机变量的函数与变换是概率论中的重要工具，用于描述随机变量之间的关系。
- 线性变换：如果(Y = aX + b)，那么(E[Y] = aE[X] + b)，(Var(Y) = a^2 Var(X))。
- 非线性变换：对于非线性函数(Y = g(X))，通常需要通过积分或微分来计算其期望值和方差。
3. 实例和练习
3.1 实例
实例1：伯努利分布
假设抛一枚硬币，正面朝上的概率为0.6。定义随机变量(X)为正面朝上的结果，求(P(X = 1))和(P(X = 0))。
解答：
[
P(X = 1) = 0.6, quad P(X = 0) = 0.4
]
实例2：正态分布
假设某地区的气温服从正态分布，均值为20°C，标准差为5°C。求气温在15°C到25°C之间的概率。
解答：
使用正态分布的累积分布函数（CDF）：
[
P(15 leq X leq 25) = Phileft(frac{25 – 20}{5}right) – Phileft(frac{15 – 20}{5}right) = Phi(1) – Phi(-1) approx 0.6826
]
3.2 练习
练习1：二项分布
假设抛10次硬币，每次正面朝上的概率为0.5。求恰好5次正面朝上的概率。
练习2：均匀分布
假设某随机变量在区间[0, 10]上服从均匀分布。求该随机变量取值在2到8之间的概率。
练习3：随机变量的函数
假设(X)服从正态分布，均值为0，标准差为1。定义(Y = X^2)，求(E[Y])。
4. 总结
本章介绍了随机变量的基本概念、常见的离散和连续概率分布，以及随机变量的函数与变换。通过实例和练习，我们加深了对这些概念的理解。随机变量是概率论与统计学的基石，掌握这些知识将有助于你在实际应用中更好地分析和处理数据。
在下一章中，我们将探讨随机变量的联合分布与条件分布，进一步扩展你对概率论的理解。