计算机基础 – 数学基础（中级）：插值与逼近

1. 引言

在计算机科学中，插值与逼近是解决数据拟合、函数近似和图像处理等问题的关键技术。插值是通过已知数据点构造一个函数，使其通过这些点；而逼近则是找到一个函数，使其在某种意义下尽可能接近目标函数。本章将深入探讨多项式插值、样条插值、最小二乘逼近，以及这些方法在计算机科学中的应用。

2. 核心概念讲解

2.1 多项式插值

多项式插值是通过已知的 ( n+1 ) 个数据点，构造一个 ( n ) 次多项式，使其通过这些点。常用的方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

2.1.1 拉格朗日插值

拉格朗日插值公式为：

0″>x0, x1, ldots, xncdots(x – x{n-1})

]

其中，( f[x0, x1, ldots, xk] ) 是 ( k ) 阶差商。

最小二乘逼近是通过最小化误差平方和来找到最佳拟合函数。对于给定的数据点 ( (xi, yi) )，最小二乘逼近的目标是找到函数 ( f(x) )，使得：

sum{i=1}^{n} (yi – f(xi))^2

]

最小。常用的最小二乘逼近方法包括线性最小二乘和非线性最小二乘。

2.4 函数逼近在计算机科学中的应用

函数逼近在计算机科学中有广泛应用，包括但不限于：

• 图像处理：通过插值和逼近技术进行图像缩放和修复。
• 数据拟合：在数据分析和机器学习中，使用最小二乘逼近进行模型拟合。
• 计算机图形学：使用样条插值进行曲线和曲面的生成。

3. 实例和练习

3.1 实例

3.1.1 多项式插值实例

给定数据点 ( (1, 2) ), ( (2, 3) ), ( (3, 5) )，使用拉格朗日插值法构造插值多项式。

解答：

P(x) = 2 cdot frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} + 3 cdot frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} + 5 cdot frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}

]

简化后得到：

P(x) = x^2 – x + 2

]

3.1.2 最小二乘逼近实例

给定数据点 ( (1, 2) ), ( (2, 3) ), ( (3, 5) )，使用最小二乘法拟合一条直线 ( y = ax + b )。

解答：

通过最小二乘法，求解正规方程：

begin{cases}

3a + 6b = 10 \

6a + 14b = 23

end{cases}

]

解得：

a = 1.5, quad b = 0.8333

]

因此，拟合直线为：

y = 1.5x + 0.8333

]

3.2 练习

1. 给定数据点 ( (0, 1) ), ( (1, 3) ), ( (2, 7) )，使用牛顿插值法构造插值多项式。
2. 给定数据点 ( (1, 1) ), ( (2, 4) ), ( (3, 9) )，使用最小二乘法拟合一条二次曲线 ( y = ax^2 + bx + c )。

4. 总结

本章详细介绍了插值与逼近的基本概念和方法，包括多项式插值、样条插值和最小二乘逼近。通过实例和练习，我们展示了这些方法在实际问题中的应用。掌握这些技术，对于解决计算机科学中的数据处理和函数近似问题具有重要意义。希望读者通过本章的学习，能够深入理解并灵活运用插值与逼近技术。