命题逻辑：语法与语义
1. 引言
命题逻辑是逻辑学中最基础的部分，它研究命题之间的逻辑关系。命题逻辑的语法和语义是理解更复杂逻辑系统的基础。在本章中，我们将深入探讨命题逻辑的语法和语义，包括命题变元与连接词、合式公式的归纳定义、真值函数与真值表、语义后承与逻辑等价等核心概念。
2. 核心概念讲解
2.1 命题变元与连接词
命题变元是命题逻辑中最基本的元素，通常用大写字母表示，如 ( P, Q, R ) 等。每个命题变元可以代表一个简单的命题，其值可以为真（True）或假（False）。
连接词用于将命题变元组合成更复杂的命题。常见的连接词包括：
- 否定（¬）：表示命题的否定。例如，( neg P ) 表示“非 ( P )”。
- 合取（∧）：表示“与”。例如，( P land Q ) 表示“( P ) 且 ( Q )”。
- 析取（∨）：表示“或”。例如，( P lor Q ) 表示“( P ) 或 ( Q )”。
- 蕴含（→）：表示“如果…那么…”。例如，( P rightarrow Q ) 表示“如果 ( P ) 那么 ( Q )”。
- 等价（↔）：表示“当且仅当”。例如，( P leftrightarrow Q ) 表示“( P ) 当且仅当 ( Q )”。
2.2 合式公式的归纳定义
合式公式（Well-Formed Formula, WFF）是命题逻辑中合法的表达式。合式公式的归纳定义如下：
- 基例：任何命题变元 ( P, Q, R, ldots ) 都是合式公式。
- 归纳步骤：
- 如果 ( phi ) 是合式公式，那么 ( neg phi ) 也是合式公式。
- 如果 ( phi ) 和 ( psi ) 是合式公式，那么 ( phi land psi )、( phi lor psi )、( phi rightarrow psi )、( phi leftrightarrow psi ) 也是合式公式。
- 闭包：只有通过上述规则生成的表达式才是合式公式。
2.3 真值函数与真值表
真值函数是将命题变元的真值映射到整个命题的真值的函数。例如，( P land Q ) 的真值函数可以表示为：
| ( P ) | ( Q ) | ( P land Q ) |
|——–|——–|—————-|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
真值表是展示所有可能命题变元组合及其对应命题真值的表格。通过真值表，我们可以直观地理解命题的逻辑行为。
2.4 语义后承与逻辑等价
语义后承（Semantic Entailment）是指在一个逻辑系统中，如果命题 ( phi ) 为真时，命题 ( psi ) 也必然为真，那么 ( phi ) 语义后承 ( psi )，记作 ( phi models psi )。
逻辑等价（Logical Equivalence）是指两个命题在所有可能的情况下具有相同的真值。如果 ( phi ) 和 ( psi ) 逻辑等价，记作 ( phi equiv psi )。
3. 实例和练习
3.1 实例
实例1：构造 ( P rightarrow Q ) 的真值表。
| ( P ) | ( Q ) | ( P rightarrow Q ) |
|——–|——–|———————-|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
实例2：证明 ( P land Q ) 与 ( neg (neg P lor neg Q) ) 逻辑等价。
通过构造真值表，可以发现两者在所有情况下具有相同的真值，因此逻辑等价。
3.2 练习
- 构造 ( P leftrightarrow Q ) 的真值表。
- 证明 ( P lor Q ) 与 ( neg (neg P land neg Q) ) 逻辑等价。
- 判断 ( P rightarrow Q ) 是否语义后承 ( neg Q rightarrow neg P )。
4. 总结
在本章中，我们详细讲解了命题逻辑的语法和语义。我们首先介绍了命题变元和连接词，然后通过归纳定义合式公式。接着，我们探讨了真值函数与真值表，并通过实例展示了如何构造和分析真值表。最后，我们讨论了语义后承与逻辑等价的概念，并通过练习加深了对这些概念的理解。
掌握命题逻辑的语法和语义是进一步学习更复杂逻辑系统的基础。通过本章的学习，你应该能够理解并应用命题逻辑的基本概念，构造和分析真值表，以及判断命题之间的逻辑关系。